Conjuntos

Conjuntos

Un conjunto de una manera básica se puede definir como una colección o grupo de objetos, de esta manera denotamos con letras mayúsculas (A,B,C,D…) a los conjuntos y con letras minúsculas  los elementos u objetos que pertenecen a este, por ejemplo, el conjunto X que posee como elementos los colores primarios, entonces en este conjunto se encuentran el amarillo, el azul y el rojo. La notación es una de las bases primordiales de los conjuntos de esta manera el conjunto X se escribe de esta manera

X={amarrillo, cian, magenta}

Esta manera de escribir es conjunto se conoce como definición de conjunto por extensión, cabe destacar que los conjuntos se deben escribir entre corchetes y es indiferente el orden en que se presenten sus elementos.

Ahora profundicemos más y consideremos un conjunto más amplio como el de los números naturales, como sabemos este es un conjunto muy extenso y no nos alcanzaría la vida para poder escribir cada número perteneciente a este, entonces para aquellos conjuntos amplios o que se rigen por una característica en común existe otra notación que se representa de la siguiente manera:

N={ n ∈ N : n es un número natural}

Esta notación lleva por nombre definición de conjunto por comprensión, estos conjuntos siempre llevan la forma de {x ∈ X : Donde x tiene la propiedad P }, cabe destacar que el símbolo “∈” significa pertenece, es decir, que el conjunto se encuentra conformado por todos los “n” donde n representa un número natural(1, 2, 3, 4, 5…). (De la misma forma el símbolo “∉” significa que no pertenece).

Subconjuntos:

Por definición, sean 2 conjuntos A y B diremos que A es un subconjuto de B, y lo denotaremos de esta manera A ⊆ B, si todo elemento de A también pertenece a B, tomemos como ejemplo, los conjunto de los números naturales y los enteros definidos de esta forma.

N={ n ∈ N : n es un número natural} y Z={ a ∈ Z : a es un número entero}

Sabemos que estos conjuntos por extensión son de esta manera

N={0,1,2,3,4,5...} y Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}

Notamos que los números del 0 hasta el infinito pertenecen a ambos grupos, pero este también comprende los números naturales, de esta manera todos los números naturales pertenecen a los enteros, y lo denotamos así. N ⊆ Z.

El conjunto Vacío

El conjunto vacío es un conjunto especial, veamos porqué, consideremos los siguientes conjuntos:

A={n ∈ N :  1 < n > 2}, B={ r ∈ R : r² < 0 }

(Donde N representa a los naturales, R a los reales y Q a los racionales)

Todos estos conjuntos tienen algo en común y es que ninguno posee elementos, es decir todos estos son iguales, son el conjunto vacío y el conjunto vacío se representa con el símbolo “∅” y representa a los conjuntos que no poseen elementos, el conjunto vacío no parece ser muy importante, pero lo es dado que cumple un papel tan importante en la teoría de conjuntos como el 0 en la aritmética.